從大信號(hào)到小信號(hào)

 

當(dāng)您想獲得一個(gè)復(fù)雜電路的傳遞函數(shù)時(shí)，您的目標(biāo)是減少?gòu)?fù)雜度，以便通過(guò)最簡(jiǎn)單的電路原理圖進(jìn)行分析。但是，當(dāng)您在減少電路的過(guò)程中–通過(guò)因式分解、簡(jiǎn)化表達(dá)式、忽略變量等–您必須測(cè)試您的新電路，并與最初的電路響應(yīng)進(jìn)行比較。在最初的響應(yīng)和您隨后的簡(jiǎn)化版本的響應(yīng)之間的任何偏差都表明您弄錯(cuò)了，或者您作的假設(shè)過(guò)于簡(jiǎn)單化 ：丟棄這電路并回到前一步重做。遵照這步驟，您肯定進(jìn)展很慢，但卻很仔細(xì)，您可立即發(fā)現(xiàn)和改正錯(cuò)誤。沒(méi)有什么比在結(jié)束時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤而同時(shí)您意識(shí)到在一個(gè)中間步驟就出了問(wèn)題更令人沮喪的了！

 

圖1：這開環(huán)大信號(hào)電路原理圖是我們的起始電路，其動(dòng)態(tài)響應(yīng)將用作后面步驟的參考

 

首先我們用第二部分介紹的小信號(hào)版本代替大信號(hào)PWM開關(guān)模型。然后，我們可運(yùn)行一個(gè)交流仿真，并驗(yàn)證操作點(diǎn)和響應(yīng)是相同的。非線性模型在圖1中，而小信號(hào)版本出現(xiàn)在圖2中。占空比已分為兩個(gè)源，一個(gè)用于靜態(tài)占空比，一個(gè)用于交流調(diào)制。

 

 

偏置點(diǎn)與圖1中的相同說(shuō)明第一步是正確的。我們來(lái)看看這兩個(gè)比較電路的頻率響應(yīng)如何。我們已采集了如圖3 的波特圖：幅值和相位曲線重疊，驗(yàn)證了我們的第一步。

 

圖2中的電路圖是正確的但相當(dāng)復(fù)雜。如上所述，小信號(hào)分析意味著盡可能簡(jiǎn)化電路，并將各種不同元件重新整理成一個(gè)更有意義的架構(gòu)。

 

圖2：PWM開關(guān)由小信號(hào)版本替代，并對(duì)參考頻率響應(yīng)進(jìn)行了電路動(dòng)態(tài)響應(yīng)檢查

 

圖3：兩個(gè)電路的波特圖完全重疊，驗(yàn)證了第一步。

 

我們插入的PWM開關(guān)模型確實(shí)是線性版本，我們無(wú)需研究它。然而，計(jì)算峰谷電流、鉗位電壓等的所有源仍然是大信號(hào)運(yùn)算，我們需要將其線性化。幸運(yùn)的是，這有些源在我們的交流分析中是不需要的的如I_p和d₂。

 

源線性化

 

您有兩個(gè)選擇，如果您想線性化這些源。您可通過(guò)小的勵(lì)磁改變每一變量–您看到的某些變量中的小帽子^ - 并整理交流和直流項(xiàng)以形成兩個(gè)獨(dú)立的等式：一個(gè)靜態(tài)和一個(gè)動(dòng)態(tài)的表達(dá)式。靜態(tài)的表達(dá)式描述了操作點(diǎn)–此處我們并不需要它–而動(dòng)態(tài)的表達(dá)式是我們想要的。采用這技術(shù)的問(wèn)題是您獲得的項(xiàng)和交叉產(chǎn)品的數(shù)量，特別是變量超過(guò)兩個(gè)。整理這些項(xiàng)以形成交流和直流等式，有時(shí)可能是繁瑣的和錯(cuò)誤的源。我們?cè)囍捎霉鹊纂娏鞯亩x：

 

   (1)

 

這里有3個(gè)變量，I_c, d 和d₁。如果我們少量改變每一變量，得出

 

   (2)

 

展開為

 

   (3)

 

現(xiàn)在合并交流和直流項(xiàng)，我們有兩個(gè)定義：

 

   (4)

 

如果我們定義兩個(gè)系數(shù)k_ivd 和k_ivd1為

 

   (5)

 

   (6)

 

(4)中的動(dòng)態(tài)等式可重新整理為

 

   (7)

 

靜態(tài)系數(shù)k_ivd 和k_ivd1將被作為參數(shù)在捕獲的電路圖中傳遞，并在仿真開始前預(yù)估。

 

另一現(xiàn)有的選擇是不用整理而以更快的方式獲得小信號(hào)系數(shù)如k_ivd 和k_ivd1。分步操作是簡(jiǎn)單的，但表達(dá)式很復(fù)雜，并有多個(gè)變量，它很快成為困難的工作，您無(wú)法通過(guò)解算器如Mathcad?自動(dòng)求解。一組不相關(guān)(獨(dú)立) 的變量給出更快的方法，包括使用偏微分法，如下所示：

 

   (8)

 

或使用小信號(hào)記法

 

   (9)

 

在這里，交流項(xiàng)系數(shù)只有從這偏微分法獲得。將該方法應(yīng)用到圖2中的d₁發(fā)生器得出

 

 (10）

 

從中導(dǎo)出

 

   (11)

 

考慮k_d1vo 和k_d1iv系數(shù)，我們可將(11)改寫為

 

   (12)

 

其中

 

   (13)

 

   (14)

 

現(xiàn)在我們有線性的d₁ 和I_v源，我們可更新和簡(jiǎn)化電路圖圖2。結(jié)果如圖4：在參數(shù)文本窗口中計(jì)算表達(dá)式(5)、(6)和(13)、(14)?，F(xiàn)在這圖中的所有源都是小信號(hào)類型。快速的交流分析顯示，頻率響應(yīng)的幅值和相位完全與圖3匹配。

 

簡(jiǎn)化電路原理圖

 

我們可從這電路原理圖開始分析線性轉(zhuǎn)換器。不過(guò)可能需要進(jìn)一步的簡(jiǎn)化和整理。例如，在控制-輸出傳遞函數(shù)中，輸入電壓是V_in恒定的，

 

 

因此，連接到輸入電壓的節(jié)點(diǎn)“a”正好接地。通過(guò)接地節(jié)點(diǎn)“a”，您可重畫電路并顯示為如圖5所示的更簡(jiǎn)單的版本。測(cè)試這電路的頻率響應(yīng)并與圖3比較，以檢測(cè)在新整理出的模型中的任何錯(cuò)誤。

 

電流源B7與電壓源B1串聯(lián)。為進(jìn)一步簡(jiǎn)化，B7負(fù)端可參考接地，而B1的輸出連接到節(jié)點(diǎn)20以獨(dú)立的源轉(zhuǎn)換。圖6給出了新的電路圖。節(jié)點(diǎn)20用于源B10(通過(guò)定義更新)，兩個(gè)電流源B7/B2可并聯(lián)以形成單個(gè)源。這是如圖7所示的用于分析的最終電路。請(qǐng)注意源Iv表達(dá)式已包含在d₁源中?；趫D8中的大信號(hào)參考模型繪制此電路的頻率響應(yīng)。因?yàn)橄辔缓头迪嗤?，我們現(xiàn)在可著手這最終的表達(dá)式。

 

圖4：更新的電路現(xiàn)在只包括線性源。

 

圖5：考慮恒定的輸入電壓，節(jié)電“a”可接地并進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得出小信號(hào)電路。

 

圖6：電流源B7現(xiàn)在接地，而B1在節(jié)點(diǎn)20提供電壓。

 

圖7：只要電流源并聯(lián)到B7和節(jié)點(diǎn)20整合到B10，我們可得出最終的小信號(hào)電路原理圖。I_v已整合到d₁。

 

圖8：大信號(hào)模型的頻率響應(yīng)和我們簡(jiǎn)化電路圖7的頻率響應(yīng)相同

 

生成等式

 

我們從電感電流等于節(jié)點(diǎn)“c”的電壓除以電感阻抗開始。節(jié)點(diǎn)“c”的電壓由節(jié)點(diǎn)“p”的電壓與電壓源B10串聯(lián)定義。節(jié)點(diǎn)“p”的電壓只是減去通過(guò)變壓器匝數(shù)比N(忽略二極管正向壓降)反射到初級(jí)端的輸出電壓。我們有

 

   (15)

 

源d₁可改寫，因?yàn)長(zhǎng)_p的電流現(xiàn)已被定義(它是圖7 d₁源的I(V_c))

 

   (16)

 

解得d₁(s)為

 

 (17)

 

輸出電流是以變壓器匝數(shù)比N縮放的初級(jí)電流。它是由源B7減去流經(jīng)電感的電流及由(15)定義的電流：

 

   (18)

 

在此表達(dá)式中，I_c是在本系列文章第二部分已確定的直流值

 

   (19)

 

這電流以由如圖9所示的r_C,C_out和負(fù)載電阻R_L形成的阻抗循環(huán)。

 

圖9：最終描述包括變壓器驅(qū)動(dòng)由輸出電容、ESR和負(fù)載電阻形成的復(fù)雜的阻抗R_L。

 

這輸出電流也可定義為

 

   (20)

 

阻抗可通過(guò)將r_C + C_out和R_L并聯(lián)或應(yīng)用快速分析電路技術(shù)（FACTS）迅速得出。重新整理結(jié)果，您應(yīng)發(fā)現(xiàn)

 

   (21)

 

現(xiàn)在結(jié)合(18)、 (20) 和(21)，我們可寫

 

   (22)

 

現(xiàn)在的樂(lè)趣在于求解V_out，并以二階多項(xiàng)式的形式重新整理傳遞函數(shù)。通過(guò)Mathcad的幫助，我們得出：

 

   (23)

 

其中我們已確定以下原系數(shù)

 

 

文獻(xiàn)中給出的典型的反激式轉(zhuǎn)換器的傳遞函數(shù)按照(23)的形式并采用下面的定義：

 

 

測(cè)試解析表達(dá)式

 

如果我們假設(shè)圖1的運(yùn)行值，并繪制由(23)給出的響應(yīng)，無(wú)論是l_leak為0 (r_C= 0歐)的復(fù)雜系數(shù)還是簡(jiǎn)化的反激式表達(dá)式，幅值和相位曲線如圖10所示都完全重疊。

 

圖10：當(dāng)漏電感設(shè)為0，采用復(fù)雜系數(shù)的等式和傳統(tǒng)的反激式表達(dá)式返回相同的頻率響應(yīng)曲線。

 

接下來(lái)的測(cè)試包括設(shè)置l_leak為10 μH、疊合由Mathcad和小信號(hào)SPICE仿真得出的曲線。如圖11所示，曲線的完美重疊證實(shí)了我們對(duì)傳遞函數(shù)考慮漏電感的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

 

圖11：SPICE和Mathcad繪制出完全重疊的曲線，證實(shí)了我們圖4的關(guān)于傳遞函數(shù)中V_out結(jié)合d的分析推導(dǎo)。

 

最后，為將我們的建模方案與另一個(gè)仿真平臺(tái)比較，我的同事Dr. Capilla采集了在第一部分介紹的以Simplis模板簡(jiǎn)化的逐周期模型，并運(yùn)行幾個(gè)配置以提取小信號(hào)響應(yīng)。結(jié)果如圖13所示，其中我們已粘貼了采用小信號(hào)模型得到的SPICE仿真結(jié)果。

 

圖12：Simplis可提取開關(guān)電路的小信號(hào)響應(yīng)

 

 

圖13：Simplis的交流響應(yīng)顯示相較SPICE平均模型略有阻尼的電路

 

對(duì)于1-μH漏電感值，Simplis顯示出稍低的Q，可能是由于仿真電路中一些選定的開關(guān)元件固有的損耗。對(duì)于較高的漏電感值(10和30 μH)，符合得非常好，曲線幾乎重疊。

 

漏電感和品質(zhì)因數(shù)

 

現(xiàn)在我們的模型是正確的，我們可交流掃描圖1電路，并看漏電感如何影響幅值和相位曲線。在具低漏電感時(shí)，Q很明顯，超過(guò)10 dB。當(dāng)漏電感增加，每切換周期損耗更多能量，品質(zhì)因數(shù)減弱。對(duì)于大電感值30 μH，系統(tǒng)變得過(guò)阻尼。

 

圖14：增加漏電感明顯阻尼工作于電壓模式的CCM反激式轉(zhuǎn)換器的響應(yīng)。

 

在圖15中，我們已繪制出Q相對(duì)漏電感的值，證實(shí)了它對(duì)反激式轉(zhuǎn)換器的阻尼效應(yīng)。

 

在電流模式中，占空比截?cái)嘞?，因?yàn)楸M管存在漏電感，但峰值電流不受影響，因?yàn)閠_on自然延長(zhǎng)至符合峰值設(shè)定點(diǎn)。如[1]所寫，它可標(biāo)明電流模式控制(CCM)中的開關(guān)占空比定義為

 

   (24)

 

其中F_sw是開關(guān)頻率，V_c是控制電壓，R_i是檢測(cè)電阻，I_c是如(19)定義的端點(diǎn)“c”的電流，S_a是外部補(bǔ)償斜率，V_ac是端點(diǎn)“a”和“c”之間的電壓。雖然漏電感增加，但有效的占空比(開關(guān)占空比由漏電感磁化時(shí)間減少)保持相對(duì)穩(wěn)定。因此，主要是次級(jí)電流的延遲影響了輸出電壓。但輸出電壓的降低在電流模式控制中低于電壓模式轉(zhuǎn)換器(圖16)。

 

圖16：在電流模式中，峰值電流保持穩(wěn)定，導(dǎo)通時(shí)間自然延長(zhǎng)以補(bǔ)償漏電感的存在。因此，不像電壓模式控制，輸出電壓幾乎不受影響。

 

結(jié)論

 

在這最后一部分，我們已描述了CCM反激式轉(zhuǎn)換器在電壓模式控制下的控制-輸出的傳遞函數(shù)。漏電感增加了鉗位源損耗并提供阻尼：傳統(tǒng)的等式?jīng)]有預(yù)測(cè)這一行為，必須推導(dǎo)新模型。進(jìn)一步的線性化過(guò)程中，必須確定性的小信號(hào)傳遞函數(shù)，表示漏電感對(duì)品質(zhì)因數(shù)的影響。但電流模式控制受漏電感的影響較小。參考[2]和[3]指出文獻(xiàn)意識(shí)到漏電感的影響，但在更新的傳遞函數(shù)表達(dá)式中沒(méi)有規(guī)范地定義這影響。本文完成了這一工作。

 

 

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