你的位置:首頁(yè) > 測(cè)試測(cè)量 > 正文
論頻譜中負(fù)頻率成分的物理意義
發(fā)布時(shí)間:2017-04-19 來(lái)源:陳懷琛 責(zé)任編輯:wenwei
【導(dǎo)讀】本文討論了信號(hào)經(jīng)過(guò)傅立葉變換所得頻譜的物理意義,其中著重于負(fù)頻率成分。許多信號(hào)與系統(tǒng)的教材中,都認(rèn)為負(fù)頻率成分沒(méi)有物理意義。本文以多方面的實(shí)例證明了負(fù)頻率成分不但具有明確的物理意義,而且有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。文章還用Matlab程序演示了如何用幾何方法求傅立葉反變換,把集總頻譜合成為時(shí)域信號(hào),從中也可鮮明地看出負(fù)頻率成分的意義。
1.負(fù)頻率與復(fù)信號(hào)
頻率f的原始定義是每秒出現(xiàn)的次數(shù),可用以衡量機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電信號(hào)、乃至任何事件重復(fù)出現(xiàn)的頻度,這當(dāng)然不存在有“負(fù)”的概念。當(dāng)用頻率描述圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)(即進(jìn)入了二維信號(hào)平面),產(chǎn)生了角頻率 ω”的概念,從機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)出發(fā),定義為角速度,對(duì)于周期運(yùn)動(dòng),角速度也就是角頻率。通常 θ以反時(shí)針為正,因此轉(zhuǎn)動(dòng)的正頻率是反時(shí)針旋轉(zhuǎn)角速度,負(fù)頻率就是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角速度。正、負(fù)號(hào)是非常自然形成的,沒(méi)有物理意義的有無(wú)問(wèn)題。電的單位向量(電壓或電流)圍繞原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng),可以用表示,這是在電路中都清楚的。θ的正負(fù)所代表的物理意義從未有什么爭(zhēng)議,它的導(dǎo)數(shù)的物理意義不言自明,取正取負(fù)都不影響定義,為什么取負(fù)就會(huì)失去物理意義了呢?在信號(hào)與系統(tǒng)課程中,為了簡(jiǎn)化問(wèn)題,便于初學(xué)者掌握概念,開(kāi)宗明義地把研究范圍限定于實(shí) 信 號(hào) f(t) , 也就是在電壓旋轉(zhuǎn)向量中,只研究它在實(shí)平面或虛平面上的一個(gè)投影 sin(ωt)或 cos(ωt),研究復(fù)信號(hào)的特性與只研究實(shí)信號(hào)
sin(ωt)或 cos(ωt) 是兩個(gè)不同的層次。前者是反映信號(hào)在空間的全面特性,如圖1 所示。后者只研究了信號(hào)在一個(gè)平面(x-t或y-t組成的平面)上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息,以致 x=sin(ωt) 與sin(-ωt)在x-t平面中的波形沒(méi)有任何差別,這是人們對(duì)負(fù)頻率的意義產(chǎn)生疑問(wèn)的直接原因之一。很顯然,在x-t或y-t的平面內(nèi),是不可能看出旋轉(zhuǎn)的。既看不到θ,更看不到ω。只有在x-y平面上才能看到這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)。
2.復(fù)信號(hào)與實(shí)信號(hào)的頻譜
同樣,用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作為核來(lái)做傅立葉變換所得的結(jié)果也是前者全面,后者片面。對(duì)實(shí)信號(hào)做傅立葉變換時(shí),如果用指數(shù)為核,將得到雙邊頻譜。以角頻率為?的余弦信號(hào)為例,它有具有位于±?兩處的、幅度各為 0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關(guān)系可以用圖2表示。兩個(gè)長(zhǎng)度為 0.5 的向量,分別以±?等速轉(zhuǎn)動(dòng),它們的合成向量就是沿實(shí)軸方向的余弦向量。而沿虛軸方向的信號(hào)為零??梢?jiàn)必須有負(fù)頻率的向量存在,才可能構(gòu)成純 粹的實(shí)信 號(hào) 。 所以歐公式是有其明確的幾何意義(即物理意義)的。在文獻(xiàn)[1]中給出了動(dòng)畫(huà),并給出了正、負(fù)數(shù)字頻率的幾何解釋。
3.雙邊頻譜的工程應(yīng)用
正余弦信號(hào)中包括正負(fù)雙邊頻譜,不僅有物理意義,而且具有重要的工程價(jià)值。
1)二相異步電機(jī)的設(shè)計(jì)
根據(jù)這個(gè)概念,可以用兩路在空間正交的實(shí)信號(hào)來(lái)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)電磁場(chǎng),設(shè)計(jì)電動(dòng)機(jī)。上面給出了單位余弦波在正負(fù)兩個(gè)頻率上有幅度相等,相角均為零的兩根譜線;同樣,單位正弦波在同樣正負(fù)兩個(gè)頻率上也有幅度相等的譜線,不過(guò)它們的相角分別為±π/2。用立體圖表示如圖 3(a)。
如果把正弦和余弦兩個(gè)信號(hào)的正頻率成分設(shè)計(jì)得相等相反,則把它們合成以后,就只剩下負(fù)頻率成分,它就構(gòu)成一個(gè)單純負(fù)向旋轉(zhuǎn)的電信號(hào)。為此可以把正弦信號(hào)在空間上轉(zhuǎn)動(dòng)π/2,使它的正頻率譜線恰好與余弦信號(hào)的正頻率譜線反向,這樣兩個(gè)信號(hào)的合成(見(jiàn)圖3(b))就成為一個(gè)只有負(fù)頻率譜線的信號(hào),當(dāng)然它在時(shí)域必然是復(fù)數(shù)信號(hào)。常用的二相異步電機(jī)就是這樣負(fù)向轉(zhuǎn)動(dòng)的。而要使該電機(jī)正轉(zhuǎn),則要使兩者的負(fù)頻率成分互相抵消,只保留其正頻率成分。
2)通信領(lǐng)域中的 Hilbert 變換
實(shí)信號(hào)的雙邊頻譜是對(duì)稱的。如果它的單邊頻帶寬 W,考慮到負(fù)頻率成分,實(shí)際占的頻譜區(qū)域就是±W,所以通信中要傳輸這樣的信號(hào)就需要占用 2W的頻帶寬度。為了節(jié)省頻帶,人們就發(fā)明了 Hilbert 變換,它可以把信號(hào)的正頻率頻譜移相-90°,把負(fù)頻率頻譜移相90°,然后再將這個(gè)信號(hào)移相90°與原信號(hào)相加,使兩者的負(fù)頻率成分互相抵消,正頻率成分加倍,構(gòu)成一個(gè)沒(méi)有負(fù)頻率頻譜的復(fù)信號(hào),(如同上面所說(shuō)的二相異步電機(jī)那樣)。這個(gè)復(fù)信號(hào)的帶寬就只占 W 了。用這個(gè)方法,使頻帶節(jié)約了一半。在這里,可以看到負(fù)頻率成分的重要性,在傳送信號(hào)時(shí)。
它是不可或缺的部分。另外,也看到負(fù)頻率成分與復(fù)信號(hào)的密切關(guān)系。
3)產(chǎn)生任意的平面運(yùn)動(dòng)軌跡
文獻(xiàn)[5]曾提出根據(jù)傅立葉反變換原理產(chǎn)生平面運(yùn)動(dòng)軌跡的方法。從上面歐拉公式的幾何意義不難得知,傅立葉反變換公式其實(shí)表示了多個(gè)頻譜旋轉(zhuǎn)向量的合成,這些向量的頻率規(guī)定了它信號(hào)的實(shí)部,在 y軸上的投影是信號(hào)的虛部。
不難設(shè)計(jì)出一個(gè)程序來(lái)演示這個(gè)過(guò)程,在[2,3]中編寫(xiě)了一個(gè)MATLAB 程序,程序名為 exn941。它把四個(gè)集總頻譜合成起來(lái)。假如給出這些頻譜分量如下:
a(1) = 1, ω(1) = 1; a(2) = 1, ω(2) = -1; a(3) = 0.5,ω(3) = 3;a(4) = 0.5,ω(4) = -4;
在此處,為了顯示復(fù)信號(hào),有意把輸入頻譜設(shè)成不對(duì)稱的,見(jiàn)圖5(d)。于是讀者將看到四節(jié)桿的運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫(huà),并得到桿系及其末端在復(fù)平面上的軌跡(圖4),改變了比例尺后為圖 5 (a)。將它在x,y兩方向的投影與時(shí)間軸的關(guān)系畫(huà)在圖5(b)和(c)中,就得到信號(hào)與系統(tǒng)課程中常見(jiàn)的實(shí)信號(hào)曲線。
輸入頻譜的幅度可以是負(fù)數(shù),也可以是虛數(shù),甚至可以是復(fù)數(shù),它不僅反映了頻譜的大小,還反映了該向量的起始相位;頻譜的頻率則只能是有正負(fù)號(hào)的實(shí)數(shù),正頻率和負(fù)頻率以及在該頻率上頻譜的意義在此不言自明。讀者可以做各種各樣的試驗(yàn)。例如當(dāng)兩組頻率具有倍頻關(guān)系時(shí),得到的是周期信號(hào),如果頻率比是無(wú)理數(shù),那將得出非周期的信號(hào);另外,這樣的演示只適用于集總頻譜,對(duì)于分布的頻譜密度,就要把它想象為若干小的集總頻譜的疊合。
總之有了這樣的形象演示,可以大大擴(kuò)展時(shí)域信號(hào)與頻域譜之間關(guān)系的思維空間。
4)多普勒頻率
多普勒頻率又是一個(gè)負(fù)頻率的實(shí)例,如果信號(hào)的發(fā)射源向我們運(yùn)動(dòng)而來(lái),那么多普勒頻率就是正頻率;如果信號(hào)的發(fā)射源向我們遠(yuǎn)離而去,那么多普勒頻率就是負(fù)頻率,在這里正負(fù)頻率都是有明確物理意義的。多普勒頻率雖是一種差頻,它表現(xiàn)為合成信號(hào)的包絡(luò)頻率,因此仍然符合上述的原理,在實(shí)信號(hào)域只能求出多普勒頻率的大小,但檢測(cè)不出它的正負(fù)。要得到負(fù)頻率,必須從復(fù)信號(hào)域考慮??梢?jiàn),不懂得這一點(diǎn),就無(wú)法找到多普勒測(cè)速的原理框圖。
5)機(jī)械工程領(lǐng)域的應(yīng)用
關(guān)于二維信號(hào)的傅立葉變換,國(guó)內(nèi)早已有學(xué)者將其應(yīng)用于工程領(lǐng)域,參見(jiàn)文獻(xiàn)[4]、 [5]。這些都是說(shuō)明頻譜中負(fù)頻率物理意義的實(shí)際例證。
4.在對(duì)負(fù)頻率認(rèn)識(shí)中存在的問(wèn)題
頻譜中負(fù)頻率成分的物理意義往往不為某些人們理解,其主要原因是他們忘記了實(shí)信號(hào)平面內(nèi)研究問(wèn)題的局限性。因?yàn)樵谛盘?hào)與系統(tǒng)課程中研究的信號(hào)通常只限于實(shí)信號(hào)。從實(shí)信號(hào)的x-t的波形圖上根本看不出頻率的轉(zhuǎn)向和正負(fù),頻率只能表現(xiàn)為每秒信號(hào)重復(fù)的次數(shù)。分不清正負(fù)就以為是正頻率,只是一種習(xí)慣性的思維方法而已。
歸根到底,轉(zhuǎn)角和頻率的正負(fù),必須在x-y平面或二維信號(hào)中才能觀察到。因?yàn)橛^察的方法不對(duì),看不到其意義,從而否認(rèn)它的存在,這是認(rèn)識(shí)論上的錯(cuò)誤,不是科學(xué)的方法。這就和“瞎子摸象”的故事所說(shuō)的那樣,摸象腿的人否認(rèn)象有鼻子,毛病出在他的驗(yàn)證方法。他老想在象腿(實(shí)信號(hào)域)上找到象鼻子(負(fù)頻率),當(dāng)然也永遠(yuǎn)找不到。正確的方法是必須換一個(gè)角度,摸別的部位(復(fù)信號(hào)域),才能得到全面的知識(shí)。
某些學(xué)者不承認(rèn)負(fù)頻率是由于把“頻率是每秒鐘循環(huán)的次數(shù)”的陳舊概念絕對(duì)化,其實(shí)頻率的概念是不斷發(fā)展充實(shí)的。每秒次數(shù)的概念只能粗糙地研究信號(hào)外部形態(tài),無(wú)法涉及信號(hào)每周期內(nèi)部的細(xì)微波形特征,而這恰好是傅立葉變換的任務(wù)。從它的核已經(jīng)可以清楚地看到,正是它摒棄(或發(fā)展)了原始的頻率定義,采用了角頻率的概念。單位是弧度/秒,而且具有明確的方向和正負(fù)號(hào)。其實(shí)頻率的概念還在繼續(xù)發(fā)展,進(jìn)入到數(shù)字信號(hào)處理時(shí)又進(jìn)一步出現(xiàn)了數(shù)字頻率,它的單位是弧度(去掉了分母上的“秒”),取值范圍是[-π,π]。它的物理意義已變?yōu)閮纱尾蓸訒r(shí)刻之間向量轉(zhuǎn)過(guò)的角度,在文獻(xiàn)[1]中對(duì)此有詳細(xì)的說(shuō)明。如果停留在“每秒次數(shù)”的舊概念上,那“數(shù)字信號(hào)處理”也就無(wú)法發(fā)展了。
5.從認(rèn)識(shí)論角度糾正對(duì)負(fù)頻率的錯(cuò)誤說(shuō)法
這個(gè)問(wèn)題是從教學(xué)中提出的,作者在旁聽(tīng)“信號(hào)與系統(tǒng)”課程時(shí),在老師的幻燈片上看到了 “關(guān)于雙邊譜,負(fù)頻率只有數(shù)學(xué)意義,沒(méi)有物理意義”的提法。我們覺(jué)得這是個(gè)錯(cuò)誤,而且恐怕不是個(gè)別老師的想法?;貋?lái)一查,果然如此,很多相當(dāng)權(quán)威的主流教材上都這么寫(xiě)。
其實(shí),“×××只有數(shù)學(xué)意義,沒(méi)有物理意義”這樣的“命題”誰(shuí)也沒(méi)有證明過(guò),也是無(wú)法證明的,它最多只能算是猜想。只要有一個(gè)反例就可被推翻,本文已經(jīng)舉出了多個(gè)反例,說(shuō)明它是完全錯(cuò)誤的。教師絕不該把錯(cuò)誤的猜想說(shuō)成真理,更不能寫(xiě)在書(shū)上和幻燈片上去誤導(dǎo)學(xué)生。數(shù)學(xué)是更抽象、更深刻地描述物理現(xiàn)象的工具,而物理是實(shí)證的科學(xué)。限于條件,人們往往暫時(shí)還認(rèn)識(shí)不到數(shù)學(xué)定理的物理意義。數(shù)學(xué)超前物理是科學(xué)史上多次出現(xiàn)的現(xiàn)象,比如虛數(shù)、非歐氏幾何等。這時(shí)應(yīng)該努力去理解它,認(rèn)識(shí)它,而不是輕易地放棄它、否定它。自己沒(méi)想通,沒(méi)找到的事物,不能說(shuō)它不存在。給學(xué)生講課時(shí),只能說(shuō)“我們目前還沒(méi)有想通×××的物理意義”。這才能表明教師在科學(xué)上的嚴(yán)肅和謙遜,也有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)鉆研和創(chuàng)新精神。
6.結(jié)束語(yǔ)
討論這個(gè)問(wèn)題,不僅是理論上的探討,對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量是有重大意義的。今天,信息技術(shù)如此的發(fā)展,很大程度是由于深入大量地開(kāi)發(fā)頻譜資源的結(jié)果。在同學(xué)剛進(jìn)入這個(gè)資源庫(kù)的時(shí)候,我們要引導(dǎo)他們對(duì)這個(gè)寶藏發(fā)生極大的興趣,非常珍惜這個(gè)寶藏,去深鉆,去挖掘它的每一點(diǎn)潛力。不能為了省事,為了堵住學(xué)生的好奇提問(wèn),輕率地、毫無(wú)根據(jù)地一句話就把頻譜的負(fù)頻率半邊扔掉了。在入門(mén)的時(shí)候,當(dāng)然不可能把本文說(shuō)的概念統(tǒng)統(tǒng)灌輸給學(xué)生,要順序漸進(jìn)。但老師首先要有更寬廣的知識(shí)面和更科學(xué)的思維方法,教出的學(xué)生的才會(huì)具備更多的想象力和創(chuàng)造性。
作者:陳懷琛,方海燕 西安電子科技大學(xué)
以上內(nèi)容轉(zhuǎn)載自電子工程專輯微信公眾號(hào)。
推薦閱讀:
特別推薦
- 授權(quán)代理商貿(mào)澤電子供應(yīng)Same Sky多樣化電子元器件
- 使用合適的窗口電壓監(jiān)控器優(yōu)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)
- ADI電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制解決方案 驅(qū)動(dòng)智能運(yùn)動(dòng)新時(shí)代
- 倍福推出采用 TwinSAFE SC 技術(shù)的 EtherCAT 端子模塊 EL3453-0090
- TDK推出新的X系列環(huán)保型SMD壓敏電阻
- Vishay 推出新款采用0102、0204和 0207封裝的精密薄膜MELF電阻
- Microchip推出新款交鑰匙電容式觸摸控制器產(chǎn)品 MTCH2120
技術(shù)文章更多>>
- 更高精度、更低噪音 GMCC美芝電子膨脹閥以創(chuàng)新?lián)屨夹袠I(yè)“制高點(diǎn)”
- 本立租完成近億元估值Pre-A輪融資,打造AI賦能的租賃服務(wù)平臺(tái)
- 中微公司成功從美國(guó)國(guó)防部中國(guó)軍事企業(yè)清單中移除
- 華邦電子白皮書(shū):滿足歐盟無(wú)線電設(shè)備指令(RED)信息安全標(biāo)準(zhǔn)
- 功率器件熱設(shè)計(jì)基礎(chǔ)(九)——功率半導(dǎo)體模塊的熱擴(kuò)散
技術(shù)白皮書(shū)下載更多>>
- 車(chē)規(guī)與基于V2X的車(chē)輛協(xié)同主動(dòng)避撞技術(shù)展望
- 數(shù)字隔離助力新能源汽車(chē)安全隔離的新挑戰(zhàn)
- 汽車(chē)模塊拋負(fù)載的解決方案
- 車(chē)用連接器的安全創(chuàng)新應(yīng)用
- Melexis Actuators Business Unit
- Position / Current Sensors - Triaxis Hall
熱門(mén)搜索
單向可控硅
刀開(kāi)關(guān)
等離子顯示屏
低頻電感
低通濾波器
低音炮電路
滌綸電容
點(diǎn)膠設(shè)備
電池
電池管理系統(tǒng)
電磁蜂鳴器
電磁兼容
電磁爐危害
電動(dòng)車(chē)
電動(dòng)工具
電動(dòng)汽車(chē)
電感
電工電路
電機(jī)控制
電解電容
電纜連接器
電力電子
電力繼電器
電力線通信
電流保險(xiǎn)絲
電流表
電流傳感器
電流互感器
電路保護(hù)
電路圖